Makalah Pendidikan Matematika Tentang Geometri

Sekilas tentang Geometri

== Apakah geometri? ==

Perkembangan direkodkan dari geometri merentangi lebih dua alaf. Ia sukarnya terkejut yakni persepsi dari apa yang menjadikan geometri berkembang sepanjang zaman. Paradigma geometrik yang dipersembahkan di bawah patut dilihat sebagai '[[Gambar pada pameran]]' seumpama: mereka tidak memenatkan subjek geometri tetapi hanya memantulkan sesetengah dari tema bertaksirnya.

=== Geometri praktikal ===

Terdapat sedikit ragu-ragu bahawa geometri berasal sebagai sains ''praktikal'', mengambil berat tinjauan, ukuran, luas, dan isipadu. Dikalangan perlaksanaan penting seorang mencari formula [[jarak]], [[luas]] dan [[isipadu]], seperti [[teorem Pythagoras]], [[lilitan]] dan [[luas cakera|luas]] bulatan, luas [[segitiga]], isipadu dari [[Silinder (geometri)|silinder]], [[sfera]], dan [[piramid]]. Perkembangan [[astronomi]] membawa kepada kemunculan [[trigonometri]] dan [[trigonometri sferikal]], bersama dengan pelayan teknik komputasi.

=== Geometri aksiomatik ===

Cara komputingkan sesetengah jarak atau ketinggian yang tak boleh dimasuki adalah berdasarkan pada [[persamaan (geometri)|persamaan]] dari tokoh geometrik dan disifatkan ke [[Thales]] menandakan pendekatan lebih abstrak kepada geometri yang diambil oleh [[Euclid]] dalam [[Elemen Euclid|Elemennya]], salah satu dari buku paling berpengaruh yang pernah ditulis. Euclid memperkenalkan sesetengah [[aksiom]] atau [[penganggapan]], meluahkan utamanya atau sifat bukti-sendiri dari poin, garis, dan datar. Dia meneruskan kepada berkerasnya mengurangkan sifat lain dengan alasan matematikal. Pada abad keduapuluh, [[Dabid Hilbert]] memberikan alasan aksiomatik dalam cubaannya untuk mengemaskinikan Euclid dan memberikan asas moden dari geometri.

=== Pembinaan geometrik ===

Saintis purba diberikan perhatian istimewa dalam membinakan objek geometrik yang telah dihuraikan dalam sesetengah cara lain. Alatan klasikal yang membenarkan pembinaan geometrik ialah [[kompas dan baris sisi]]. Bagaimanapun, sesetengah masalah sebenarnya sukar atau mustahil untuk diselesaikan dengan cara ini sendiri, dan kepandaian pembinaan kepada masalah geometrik dengan geometrik atau cara mekanikal adalah dikenali sebagai [[geometri Sintetik]].

=== Nombor dalam geometri ===

Peranan [[Pythagoras]] memang sudah dianggap dari nombor dalam geometri. Bagaimanapun, penemuan [[Kebolehbandingan (matematik)|ketidakbolehbandingan]] jarak, yang bercanggah dengan pandangan falsafah mereka, membuatkan mereka tinggalkan nombor (abstrak) dengan menggemarkan kuantiti geometrik (konkrit), seperti jarak dan luas rajah. Nombor telah diperkenalkan semula kepada geometri dalam bentuk [[koordinat]] oleh [[Descartes]], dan menyedari bahawa penyelidikan bentuk geometrik boleh dimudahkan oleh persembahan algebraik mereka. [[geometri Analitik]] memberikan cara algebra kepada soalan geometrik, biasanya dengan menghubungkait [[lengkung]] geometrik dan [[persamaan]] algebraik. Idea ini memainkan peranan penting dalam perkembangan [[kalkulus]] pada abad ketujuhbelas dan membawa kepada penemuan banyak sifat baru dari datar lengkung. [[Geometri Algebraik]] moden pertimbangkan soalan sama pada yang meluasnya peringkat lebih abstrak.

=== Posisi dari geometri ===

Malah pada zaman purba, geometer pertimbangkan soalan dari posisi relatif atau hubungan spatial dari rajah geometrik dan bentuk. Sesetengah contoh diberikan dengan diukir dan dan bulatan [[poligon]] yang digaris lilitkan, garis yang disilangkan dan tangen ke [[seksyen konik]], poin dan garis tatarajah [[Tatarajah Pappus|Pappus]] dan [[Teorem Menelaus|Menelaus]]. Pada Zaman Pertengahan soalan yang lebih baru dan rumit dari jenis ini telah dipertimbangkan: Apakah bilangan maksimum dari sfera serentaknya menyentuh sfera yang diberikan dari radius yang sama ([[masalah ciumkan nombor]])? Apakah yang terpadat [[bungkusan sfera|bungkusan dari sfera]] dari saiz sama dalam ruang ([[tekaan Kepler]])? Kebanyakan soalan ini melibatkan bentuk geometrikal yang 'tegar', seperti garis atau sfera. Geometri [[geometri projektif|Projektif]], [[geometri cembung|cembung]] dan [[geometri berasingan|berasingan]] merupakan tiga subdisiplin di dalam geometri masa kini yang mengendalikan dengan soalan berkaitan ini.

Bab baru dalam ''Geometria situs'' telah dibuka oleh [[Leonhard Euler]], yang beraninya tebarkan keluar sifat metrik dari rajah geometrik dan dianggap struktur geometrikal paling fundamental yang berdasarkan hanya pada bentuk. [[Topologi]], yang bercambah dari geometri, tetapi dijadikan kepada disiplin bebas besar, tidak membezakan antara objek yang boleh berterusan dicacatkan kepada satu sama lain. Objek ini namun begitu mungkin mengekalkan sesetengah geometri, seperti pada kes dari [[ikatan hiperbolik]].

=== Geometri melebihi Euclid ===

Selama hampir dua ribu tahun sejak Euclid, manakala berderetan dari soalan geometrikal disoal dan dijawab yang tak boleh dielakkan berkembang, pemahaman asas dari [[ruang]] tinggal pada dasarnya sama. [[Immanuel Kant]] menyatakan bahawa terdapat hanya satu, geometri, ''mutlak'', yang dikenali menjadi ''a priori'' yang sebenar oleh fakulti minda dalaman: Geometri Euclid adalah [[sintetik a priori]]. <ref>Kline (1972) "Fikiran matematikal dari zaman purba ke moden", Sidang Universiti Oxford, p. 1032. Kant did not reject the logical (analitik a priori) ''kemungkinan besar'' dari geometri bukan Euclid, lihat Jeremy Gray, "Idea dari Ruang Euclid, Bukan Euclid, dan Relativistik", Oxford, 1989; p. 85. Sesetengah telah menyifatkan bahawa, pada cahaya ini, Kent telah pada faktanya ''meramalkan'' perkembangan geometri bukan Euclid, cf. Leonard Nelson, "Falsafah dan Aksiomatik," Cara Socratik dan Falsafah Kritikal, Dover, 1965; p.164.</ref> Pandangan dominan ini telah diterbalikkan oleh penemuan berevolusi dari geometri bukan Euclid dalam karya dari [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] (yang tak pernah menerbitkan teorinya), [[Bolyai]], dan [[Lobachevsky]], yang mempamerkan bahawa [[ruang Euclid]] biasa hanyalah satu-satunya kemungkinan besar untuk perkembangan geometri. Wawasan luas dari subjek geometri telah kemudian diluahkan oleh [[Riemann]] dalam syarahan rasminya ''Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen'' (''Pada hipotesis yang diasaskan geometri''), diterbitkan hanya selepas kematiannya. Idea Riemann baru dari ruang dibuktikan penting dalam [[teori kerelatifan am]] [[Einstein]] dan [[geometri Riemann]], yang dianggap ruang yang amat umum iaitu pengertian jarak ditaksirkan, merupakan sokongan dari geometri moden.

=== Simetri ===

Tema dari [[simetri]] dalam geometri hampir setua seperti sains dari geometri itu sendri. [[Bulatan]], [[poligon malar]] dan [[platonik padat]] dipegang kepentingan yang mendalam untuk ramai ahli falsafah purba dan telah disiasat secara terperinci pada zaman Euclid. Corak simetrik berlaku dalam sifat dan telah artistiknya dijadikan dalam berbagai bentuk, termasuk grafik membingungkan dari [[M. C. Escher]]. Namun begitu, ia tidak hingga separuh kedua dari abad ke-19 bahawa peranan bersatu dari simetri dalam asas geometri telah diakui. [[Program Erlangen]] [[Felix Klein]] mengisytiharkan bahawa, dalam akal yang amat tepat, menentukan apakah geometri ''adalah''. Simetri dalam [[geometri Euclid]] klasikal dipersembahkan oleh gerakan yang [[sepadan]] dan [[tegar]], manakala dalam [[geometri projektif]] peranan analogus dimainkan oleh [[kolineasi]], perubahan geometrik yang mengambil garis lurus ke garis lurus. Bagaimanapun, ianya dalam geometrik baru dari Bolyai and Lobachevsky, Riemann, [[William Clifford|Clifford]] dan Klein, dan [[Sophus Lie]] bahawa idea Klein untuk 'mentaksirkan geometri via [[kumpulan simetri]]nya' dibuktikan paling berpengaruh. Kedua-dua simetri berasingan dan berterusan memainkan peranan penting dalam geometri, dahulunya dalam [[topologi]] dan [[teori kumpulan geometrik]], yang terkemudian dalam [[teori Lie]] dan [[geometri Riemann]].

=== Geometri moden ===

''Geometri moden'' merupakan judul dari buku teks popular oleh Dubrovin, [[Sergei Petrovich Novikov|Novikov]], dan Fomenko pertama diterbitkan pada 1979 (dalam B. Rusia). Pada hampir 1000 m/s, buku ini mempunyai satu benang utama: struktur geometrik dari berbagai jenis pada [[berganda]] dan applikasi mereka dalam [[fizik teoretikal]] berkotemporari. Sesuku abad selepas penerbitannya, [[geometri perbezaan]], [[geometri algebraik]] [[geometri simpletik]], dan [[teori Lie]] yang dipersembahkan dalam buku tinggal dikalangan kawasan paling kelihatan dari geometri moden, dengan perhubungan berganda dengan bahagian dari matematik dan fizik yang lain.