Makalah Pendidikan Matematika Rumus - Rumus Trigonometri

PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)

sin(a + b)  = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b )   = tg a + tg b
                 1 - tg²a

SELISIH DUA SUDUT (a - b)

sin(a - b)  = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b )   = tg a - tg b
                 1 + tg²a

SUDUT RANGKAP

sin 2a  = 2 sin a cos a
cos 2a = cos²a - sin² a
= 2 cos²a - 1
= 1 - 2 sin²a
tg 2a  =  2 tg 2a 
            1 - tg²a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos²a = ½(1 + cos 2a)
sin2a  = ½ (1 - cos 2a)

Secara umum :

sin na  = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos² ½na - 1
= 2 cos² ½na - 1
= 1 - 2 sin² ½na
tg na =   2 tg ½na  
           1 - tg² ½na

JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA


BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN

sin a + sin b   = 2 sin a + b    cos a - b
                                2              2
sin a - sin b   = 2 cos a + b    sin a - b
                                2             2
cos a + cos b = 2 cos a + b    cos a - b
                                 2              2
cos a + cos b = - 2 sin a + b   sin a - b
                                  2             2

BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN

2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)

PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA

Bentuk a cos x + b sin x

Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)

a cos x + b sin x = K cos (x-a)

dengan :                     
             K = Öa² + b² dan tg a = b/a Þ a = ... ?

Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut

	I	II	III	IV
a	+	-	-	+
b	+	+	-	-

keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x

PERSAMAAN
I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°
                         x2 = (180° - a) + n.360°



    cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°


tg x = tg a Þ x = a + n.180°    (n = bilangan bulat)

II. a cos x + b sin x = c
     a cos x + b sin x = C
            K cos (x-a) = C
               cos (x-a) = C/K
     syarat persamaan ini dapat diselesaikan
     -1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)

misalkan C/K = cos b
  cos (x - a) = cos b
        (x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°

Limit Fungsi Trigonometri 
KETENTUAN

Untuk x <<< ( x ® 0 ) maka sin x » x
(x <<< kecil sekali ; » setara )

 l i m    sin x = 1             l i m   tg x = 1
x ® 0     x                    x ® 0    x
 l i m       x    = 1            l i m        x    = 1
x ® 0   sin  x                 x ® 0     tg x

PERLUASAN
 l i m    sin ax = a/b       l i m     tg ax = a/b
x ® 0     bx                 x ® 0     bx

 l i m       ax    = a/b       l i m       ax   = a/b
x ® 0   sin bx                 x ® 0  tg bx

 l i m    sin ax = a/b       l i m     tg ax = a/b
x ® 0   sin bx                 x ® 0 tg bx


 l i m    sin ax = a/b       l i m     tg ax = a/b
x ® 0   tg bx               x ® 0    sin bx

Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:

cos x = sin (90° - x)
ctg x = tg (90° - x)
sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax
cos ax = 1- 2 sin² ½ax
cos²x = 1 - sin²x


HAL-HAL KHUSUS

l i m    axm + bxm-1 + ....   = x ® ¥   pxn + qxn-1 + ...	¥    untuk m > n ; a/p untuk m =n ; 0    untuk m < n
l i m    Öax2 + bx + c  -    Ödx2 + ex + f x ® ¥	¥    untuk a > d ; b-e untuk m =n ; 2Öa -¥    untuk a < d

Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.


DALIL L'HOSPITAL

Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ maka

 l i m    f(x)   = l i m    f(x)
x ® ¥  g(x)     x ® a   g(x)       


CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR

1.  l i m   x² - 5x + 6 = (3)² - 5(3) + 6 = 0 
    x ® 3

2.  l i m    3x - 2   =  ¥   (*) Uraikan
    x ® ¥  2x + 1       ¥     

                 x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
                 x(2 - 1/x)    2 + 1/x   2 - 0    2
    
                 atau langsung gunakan hal khusus

3.  l i m    x² - x - 1   =  ¥   (*) Uraikan
    x ® ¥   10x + 9         ¥     

                 x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = ¥ - 1 - 0 = ¥ =¥
                 x(10 - 9/x)       10 + 9/x        10 + 0      10

                 atau langsung gunakan hal khusus


4.  l i m    x² - 3x + 2   =  0   (*) Uraikan
    x ® 2   x² - 5x + 6       0    

                 (x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
                 (x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3

                 atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial


5.  l i m    x³ - 3x² + 3x - 1   =  0   (*) Uraikan
    x ® 1       x² - 5x + 6           0    

                      (x - 1)³     = (x - 1)² = (1 - 1)² = 0
                 (x - 1) (x - 5)     (x + 5)     (1 + 5)     6

                 atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial


                                    
6.  l i m    Ö² + x - Ö2x   =  0   (*) Hilangkan tanda akar dengan
    x ® 2       x - 2            0         mengalikan bentuk sekawan

                      (x - 1)³     = (x - 1)² = (1 - 1)² = 0 = 0
                 (x - 1) (x - 5)     (x + 5)     (1 + 5)     6

                 atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial


                                        
7.  l i m   (^3x - Ö9x² + 4x)  = ¥ - ¥  (*) Hilangkan tanda akar
    x ® ¥       
                                                              
     l i m   (^3x - Ö9x² + 4x )  = é ^3x - Ö9x² + 4x ù =  (*) Hilangkan tanda
    x ®  ¥   ë ^3x - Ö9x² + 4x  û             akar
     l i m   (^9x2 - (9x² + 4x)  = l i m            -4x                =
    x ®  ¥    3x + Ö(9x² + 4x)      x ®  ¥ 3x + 3x Ö[1+(a/9x)]

     l i m            -4             = -4 = -2
    x ®  ¥    3 + 3Ö⁽¹ + 0)             6     3

                 atau langsung gunakan hal khusus

CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1. l i m   sin 2x = 0 (*)
   x ® 0  tg 3x     0
              sin 2x = 3x    2 = 1 . 1 . 2 = 2
              2x     tg 3x 3             3    3
2. l i m   1 - cos 2x = 0
   x ® 0      sin 2x      0
               1 - (1 - 2 sin² 2x) =      2 sin² x   =  sin x = tg x = 0
               2 sin x cos x        2 sin x cos       cos x
3. l i m   1 - cos x = 0
   x ® 0       3x²      0
               2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
            3 . 4 . (½x)     6 (½x)      (½x)      6             6
           atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
4. l i m   sin x - sin a = 0  (*)
   x ® 0       x - a        0
               2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
                           x - a                         ½ (x - a )
            cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a
           atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial

Defini 

Differensial (turunan) fungsi y = f(x) terhadap x didefinisikan sebagai :

dy =   l i m   f(x + Dx) - f(x)
dx    Dx Þ 0          Dx

(Perbandingan perubahan y yang disebabkan karena perubahan x, untuk perubahan x yang kecil sekali)

Notasi lain :  df/dx = f`(x) ; y`

RUMUS - RUMUS

1. FUNGSI ALJABAR y = xn Þ dy/dx = nxn-1

2. FUNGSI TRIGONOMETRI y = sin x    Þ dy/dx = cos x y = cos x Þ dy/dx = - sin x y = sin x  Þ dy/dx = sec²x

Sifat - sifat :

1. y = c (c=konstanta) Þ dy/dx = 0

2. y = c U(x) Þ dy /dx = c . U`(x)

3. y = U(x) ± V(x) Þ dy /dx = U`(x) ± V`(x)

4. Bentuk perkalian
    y = U(x) . V(x) Þ dy/dx = U`(x).V(x) + U(x).V`(x)

5. Bentuk pembagian
    y = U(x)   Þ   dy = U`(x).V(x) - U(x).V`(x)
         V(x)        dx                (V(x))²

6. Bentuk rantai
    y = f(U) dan U = g(x)  Þ  dy/dx = dy/du .du/dx

    y = (ax + b)ⁿ
    dy/dx = n(ax+b)^n-1(a)

    y = sin (ax + b)
    dy/dx = (a) cos (ax+b)

    y = sinⁿ (ax + b)
    dy/dx = n sin^n-1(ax+b) [a cos (ax+b)]

Ket : Untuk menyelesaikan persoalan, sifat dan rumus-rumus ini         dikombinasikan

Penggunaan 
MENENTUKAN KOEFISIEN ARAN GARIS SINGGUNG
    (Gradien) di titik    (x1y1) pada kurva y = f(x)
   

m = f`(x1)

f`(x1) berarti nilai turunan f(x) pada titik dengan absis x = x1,

Ket :
Khusus untuk jenis fungsi kuadrat. Jika titik tidak terletak pada grafik, maka gradien garis singgungnya dimisalkan dengan m yang dicari dengan menggunakan persamaan garis y - y1 = m (x - x1) disinggungkan dengan persamaan kurva y = f(x) dengan syarat D = 0 (D = diskriminan dari hasil eliminasi kedua persamaan)


2. MENENTUKAN MONOTON FUNGSI

• Fungsi y = f(x) monoton naik pada suatu interval,
                         jika pada interval itu berlaku f'(x) > 0

• Fungsi y = f(x) monoton turun pada suatu interval,
                         jika pada interval itu berlaku f'(x) < 0


3. MENENTUKAN TITIK STASIONER

Fungsi y = f(x) ® Syarat stasioner f'(x) = 0

JENIS - JENISNYA

STASIONER :

MAKSIMUM
Syarat : f`(x) = 0 ® x = x0; f'' (x0) < 0 ® Titik maksimum (xo, f(xo))

MINIMUM
Syarat : f '(x) = 0 ® x = x0; f'' (x0) > 0 ® Titik Minimum (xo, f(xo))

BELOK
Syarat : f '(x) = 0 ® x = x0; f'' (x0) = 0 ® Titik belok (xo, f(xo))

Nilai Stasioner adalah nilai fungsi di absis titik stasioner

Keterangan :
1. Untuk menentukan jenis jenis titik stasioner dapat juga dicari dengan    melihat perubahan tanda disekitar titik stasioner.
   Langkah :
   a. Tentukan absis titik stasioner dengan syarat f '(x) = 0 ® x = xo
   b. Buat garis bilangan f '(x)
   c. Tentukan tanda-tanda disekitar titik stasioner dengan        mensubstitusi sembarang titik pada f '(x)
   d. Jenis titik stasioner ditentukan oleh perubahan tanda di sekitar
       titik stasioner.

ket : f`(x) > 0 grafik naik
       f`(x) > 0 grafik turun

2. Nilai maksimum/minimum suatu fungsi dalam interval tertutup didapat dari nilai stasioner fungsi dalam interval itu atau dari nilai fungsi pada ujung - ujung interval


4. MASALAH FISIKA

Jika S(t) = Jarak (fungsi waktu)
      V(t) = Kecepatan (fungsi waktu)
      a(t) = Percepatan (fungsi waktu)
          t = waktu

maka V = dS/dt dan a = dV/dt

5. MENYELESAIKAN MASALAH LIMIT

DALIL L'Hospital

Jika fungsi-fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada x = a dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ sehingga :

 lim         f(x)  =  0  atau   lim     f(x) = ¥, maka
x®a       g(x)      0          x®a   g(x)   ¥

 lim         f(x)  =   lim     f`(x) = ¥, maka
x®a       g(x)     x®a   g`(x)    ¥

Integral Tak Tentu Matematika Kelas 3 > Integral
< Sebelum Sesudah >
1. RUMUS FUNGSI ALJABAR ò xn dx = 1/n+1 xn+1 + c ; n ¹ -1 FUNGSI TRIGONOMETRI ò sin x dx  = - cos x + c ò cos x dx = sin x + c sifat-sifat: a. ò c f(x) dx = c ò f(x) dx b. ò ( f(x) ± g(x) ) dx = ò f(x) dx ± ò g(x) dx c. jika    ò f(x) dx = F(x) + c    maka  ò f(ax) dx = 1/a F(ax) + c              ò f(ax+b) dx = 1/a F(ax+b) + c Perluasan : ò (ax + b)n dx = 1/a 1/(n+1) (ax + b)n+1 + c ò sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + c ò cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c CARA MENGINTEGRIR a. SUBSTITUSI      I = ò f(x) dx      substitusi : x = Q(u) ; dx = Q`(u) du      I = ò f(Q(u)) Q`(u) du jika ruas kanan telah diintegrir, subtitusi kembali dengan fungsi invers dari x = Q(u) (ket : Prinsipnya adalah merubah variabel sehingga rumus dapat digunakan) b. SUBSTITUSI TRIGONOMETRI                            1. Bentuk Ö a2 - x2     misalkan x = a sin q ® q = arc sin x/a                   dx = a cos q dq                                                  ò Ö a2 - x2 dx = a ò Ö 1 - sin2q (a cos q dq) = a2 ò cos2q dq = ½a2 ò (1 + cos2q) dq = ½a2 (q + sinq cosq) + c                                                                 = ½a2 ò [arc sin x + x Öa2 - x2 ] + c                                           a    a      a                                                                               ò Ö a2 - x2 dx = ½ a2 arc sin x/a + ½ x Ö a2 - x2 + c                                2. Bentuk ò Öa2 + b2x2     Gunakan substitusi : x = a/b tgq                                    dx = a/b sec2q dq                                3. Bentuk ò Öb2x2 - a2     Gunakan substitusi : x = a/b secq                                    dx = a/b tgq sec2q       c. PARSIIL Yaitu mengenai integral dari suatu bentuk yang merupakan hasil perkalian antara suatu fungsi x dengan turunan dari suatu fungsi x yang lain.                    I  = ò f(x) g(x) dx Misalkan :  u = f(x)        ; dv = g(x) dx                  du = ..... dx   ;   v = ò g(x) dx = ..... maka :                    ò u du = u v - ò v du Pemisalan dibuat sedemikian sehingga bentuk  ò v du jadi lebih mudah Untuk hal-hal khusus dapat digunakan cara TABULASI

Menghitung Volume Benda Putar Matematika Kelas 3 > Integral ebelum Sesudah > 1. Volume benda putar yang mengelilingi sumbu x y = f(x) ; garis x =a ; garis x = b ; diputar mengelilingi sumbu -x                           b Volume = p ò (f(x))2 dx                           a 2. Volume benda putar mengelilingi sumbu y x = f(y) garis y = c ; garis y = d ; diputar mengelilingi sumbu-y                           d Volume = p ò (f(x))2 dy                           c 3. Daerah antara dua kurva diputar mengelilingi sumbu -x y = f1(x)   ; y = f2(x) garis x = a ; garis x = b ; diputar mengelilingi sumbu -x                           b Volume = p ò {[f1(x)]2 - [f2(x)]2} dx                           a 4. Daerah antar dua kurva yang berpotongan pada titik-titik dengan    absis a dan b diputar mengelilingi surnbu x y = f1(x) ; y=f2(cx) diputar mengelilingi sumbu-x                          b Volume = p ò {[f1(x)]2 - [f2(x)]2} dx

 Menghitung Panjang Busur 


. Panjang busur kurva y = f(x) dari a = a sampai a = b

b                                     S = p ò Ö 1 + (dy/dx)2 dx               a

2. Panjang busur kurva x = f(y) dari y = c sampai y = d

d                                     S = p ò Ö 1 + (dx/dy)2 dy               c