sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
1 - tg2a
SELISIH DUA SUDUT (a - b)
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg2a
SUDUT RANGKAP
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2a - sin2 a
= 2
cos2a
- 1 = 1
- 2 sin2atg 2a = 2 tg 2a
1 - tg2a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos2a = ½(1 + cos 2a)
sin2a = ½ (1 - cos 2a)
Secara umum :
sin na = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos2 ½na - 1
= 2
cos2 ½na
- 1= 1
- 2 sin2 ½natg na = 2 tg ½na
1 - tg2 ½na
JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA
BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN
sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
2 2
sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
2 2
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
2 2
cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b
2 2
BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)
PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA
Bentuk a cos x + b sin x
Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)
a cos x + b sin x = K cos (x-a)
K = Öa2 + b2 dan tg a = b/a Þ a = ... ?
Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut
I
|
II
|
III
|
IV
|
|
a
|
+
|
-
|
-
|
+
|
b
|
+
|
+
|
-
|
-
|
keterangan
:
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x
PERSAMAAN
I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°
x2 = (180° - a) + n.360°
cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°
tg x = tg a Þ x = a + n.180° (n = bilangan bulat)
a cos x + b sin x = C
K cos (x-a) = C
cos (x-a) = C/K
syarat persamaan ini dapat diselesaikan
-1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)
misalkan C/K = cos b
cos (x - a) = cos b
(x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°
Limit Fungsi Trigonometri
KETENTUAN
Untuk x <<< ( x ® 0 ) maka sin x » x
(x <<< kecil sekali ; » setara )
l i m sin x = 1 l i m tg x = 1
x ® 0 x x ® 0 x
l i m x = 1 l i m x = 1
x ® 0 sin x x ® 0 tg x
PERLUASAN
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 bx x ® 0 bx
l i m ax = a/b l i m ax = a/b
x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 tg bx x ® 0 sin bx
Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:
cos x = sin (90° - x)
ctg x = tg (90° - x)
sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax
cos ax = 1- 2 sin² ½ax
cos²x = 1 - sin²x
HAL-HAL KHUSUS
| l
i m axm + bxm-1
+ .... = x ® ¥ pxn + qxn-1 + ... |
¥
untuk m > n ; a/p untuk m =n ; 0 untuk m < n |
| l i m Öax2 + bx + c - Ödx2 + ex + f x ® ¥ |
¥
untuk a > d ; b-e untuk m =n ; 2Öa -¥ untuk a < d |
DALIL L'HOSPITAL
Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ maka
l i m f(x) = l i m f(x)
x ® ¥ g(x) x ® a g(x)
CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR
1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0
x ® 3
2. l i m 3x - 2 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 2x + 1 ¥
x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2
atau langsung gunakan hal khusus
3. l i m x2 - x - 1 = ¥ (*) Uraikan
x ® ¥ 10x + 9 ¥
x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = ¥ - 1 - 0 = ¥ =¥
x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10
atau langsung gunakan hal khusus
4. l i m x2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan
x ® 2 x2 - 5x + 6 0
(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
(x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
5. l i m x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan
x ® 1 x2 - 5x + 6 0
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
6. l i m Ö2 + x - Ö2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan
x ® 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
7. l i m (3x - Ö9x2 + 4x) = ¥ - ¥ (*) Hilangkan tanda akar
x ® ¥
l i m (3x - Ö9x2 + 4x ) = é 3x - Ö9x2 + 4x ù = (*) Hilangkan tanda
x ® ¥
ë
3x - Ö9x2
+ 4x û akarl i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m -4x =
x ® ¥ 3x + Ö(9x2 + 4x) x ® ¥ 3x + 3x Ö[1+(a/9x)]
l i m -4 = -4 = -2
x ® ¥ 3 + 3Ö(1 + 0) 6 3
atau langsung gunakan hal khusus
CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1. l i m sin 2x = 0 (*)
x ® 0 tg 3x 0
sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2
2x tg 3x 3 3 3
2. l i m 1 - cos 2x = 0
x ® 0 sin 2x 0
1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0
2 sin x cos x 2 sin x cos cos x
3. l i m 1 - cos x = 0
x ® 0 3x² 0
2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
4. l i m sin x - sin a = 0 (*)
x ® 0 x - a 0
2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
x - a ½ (x - a )
cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
Defini
dy
= l i m f(x + Dx)
- f(x)dx
Dx
Þ
0 Dx(Perbandingan perubahan y yang disebabkan karena perubahan x, untuk perubahan x yang kecil sekali)
Notasi lain : df/dx = f`(x) ; y`
RUMUS - RUMUS
|
1.
FUNGSI ALJABAR y = xn Þ dy/dx = nxn-1 |
2.
FUNGSI TRIGONOMETRI y = sin x Þ dy/dx = cos x y = cos x Þ dy/dx = - sin x y = sin x Þ dy/dx = sec²x |
1. y = c (c=konstanta) Þ dy/dx = 0
2. y = c U(x) Þ dy /dx = c . U`(x)
3. y = U(x) ± V(x) Þ dy /dx = U`(x) ± V`(x)
4. Bentuk perkalian
y = U(x) . V(x) Þ dy/dx = U`(x).V(x) + U(x).V`(x)
5. Bentuk pembagian
y = U(x) Þ dy = U`(x).V(x) - U(x).V`(x)
V(x) dx (V(x))²
6. Bentuk rantai
y = f(U) dan U = g(x) Þ dy/dx = dy/du .du/dx
y = (ax + b)n
dy/dx = n(ax+b)n-1(a)
y = sin (ax + b)
dy/dx = (a) cos (ax+b)
y = sinn (ax + b)
dy/dx = n sinn-1(ax+b) [a cos (ax+b)]
Ket : Untuk menyelesaikan persoalan, sifat dan rumus-rumus ini dikombinasikan
No comments:
Post a Comment